∂ Fx (X,Y) = ∂ Fx( X,Y) = 0, Fxy (X,Y) = 0, ∂ 2Fxy (X,Y) ≠ 0,
в стационарной точке Х=Y=С.
Доказательство не вызывает затруднений, и сводится к анализу асимптотического поведения общей квадратичной рекуренции, в которой отсутствуют члены «самодействия» старшего поколения YY. Если рассматривать уравнение поверхности 2 = F(Х,Y), то это означает, что стационарная точка должна быть невырожденным экстремумом типа «седло», хотя приведение к главным осям недопустимо, т.к. перемешивает поколения. Это очень широкий функциональный класс систем, т.е. ЗС сечение является крайне распространенным феноменом в динамических системах с памятью.
В том случае, когда члены рекуренции неограниченно растут, «стационарная» точка на бесконечности, для выполнения условия ЗС следует требовать асимптотического обнуления всех производных, кроме ХY и, возможно, YY, но теперь, напротив, допустимо самодействие «старших» поколений YY в то время, как запрещено самодействие «молодых» поколений XX.
Это позволяет ввести универсальный критерий для широкого класса дискретных систем с памятью, гарантирующий в окрестности устойчивой стационарной точи асимптотическую сходимость по ЗС. Проанализированы причины нарушения закона ЗС, они могут быть связаны либо со «старческими браками» YY в стабилизирующейся системе, либо, напротив, с «молодежными браками» XX, если стационарная точка на бесконечности - неограниченный рост. Все это позволяет обосновать распространенность ЗС в развитии социальных, живых и информационных систем, т.к. переход к логарифмическим координатам позволяет проводить информационно-энтропийную интерпретацию (так связана энтропия со статвесом), кроме того, многие рецепторы и органы чувств имеют логарифмическую шкалу восприятия.
О природе консонансов, диссонансов и новой — каскадной темперации
В заключении отметим, что не только сама природа эволюционирует в согласии с принципами гармонии, но и механизмы восприятия также проводят «гармоническую» обработку информации, и мы несколько «идеализируем» реальность, в чем, возможно, и сокрыта та мистическая страсть к ее откровению.
Действительно, самый яркий консонанс — октава: именно удвоение частоты или периода, полное слияние звуков. Допустим, нелинейная система возбуждена на некоторой частоте, и имеет богатый спектр гармоник, в идеале все обертоны (кратные) и унтертоны (долевые). Основная гипотеза заключается в том, что обработка спектра при восприятии также происходит по принципам ритмокаскадов — здесь сжатия (умножения) спектра последовательно по степеням двойки. Это есть серия сжимающих отображений спектра, и, следовательно, должны существовать неподвижные точки, причем с каждым шагом их будет становиться все больше. Можно сопоставить неподвижной точке ее возраст — число итераций, прошедших после ее образования, иначе говоря, как часто она повторяется, «слышится» в процессе восприятия звука. Результат такой обработки на равномерном спектре показывает, что основные консонансы и диссонансы и есть те наиболее распространенные старшие неподвижные точки такого отображения. Это хорошо видно на рисунке. Кроме того, такой механизм может объяснить физиологию восприятия столь большого динамического диапазона частот.
